LeetCode/剑指 Offer 14- I. 剪绳子

剑指 Offer 14- I. 剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n > 1并且m > 1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例1 ：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例2：

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

来源：力扣（LeetCode）
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题解：

本题根据提示，需要用到动态规划，那么我们首先就需要找出状态转移方程。我们用dp数组来存储两个数的乘积，这个乘积分为两种情况，第一种情况就是，i被拆为i和i-j，那乘积就是i和i-j的乘积，另一种情况就是，拆分出j后还需要对剩下的i-j再次进行拆分，所以乘积就是j和dp[i-j]的乘积。通过以上分析我们就可以列出状态转移方程：

$$dp[i] = Math.max(j * (i-j),j * dp[i-j])$$

我们遍历从0到n的数，就可以得出结果。

具体代码如下：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        if (n == 0)
            return 0;
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            int curMax = 0;
            for (int j = 1; j < i; j++) {
                curMax = Math.max(curMax, Math.max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
            }
            dp[i] = curMax;
        }
        return dp[n];
    }
}

本题也可以用数学方法来解决，可以知道，和一定，两个数字相差越小，乘积越大，举个例子，x + y = 10，当x = 2, y = 8时， x * y = 16，当x = 5, y = 5时，x * y = 25，所以我们取尽量接近的数字连乘，得到的结果最大。我们假设取每段相等，则乘积y有：

$$y = (\frac{n}{x})^x$$

对两边取对数：

$$lny = x \times \frac{n}{x}$$

两边对x求导：

$$y' \times \frac{1}{y} = ln \frac{n}{x} + x \times \frac{x}{n}(- \frac{n}{x^2}) \\ y' = (ln \frac{x}{n} - 1) \times (\frac{n}{x})^x$$

令$y’ = 0$，可得$x = \frac{n}{e}$，也就是当每段取$e$时，乘积最大，但是因为要取整数，取3最合适。

具体代码如下：

class Solution {
    public int cuttingRope(int n) {
        //长度为2或3只有一种情况
        if (n == 2 || n == 3)
            return n - 1;
        //如果是三的倍数，直接就是三的指数
        if (n % 3 == 0) {
            return (int) Math.pow(3, n / 3);
        } else if (n % 3 == 1) { //如果余1就单另出来一个长度为4的绳子
            return (int) (4 * Math.pow(3, (n - 4) / 3));
        } else { //n对3取模余2的情况
            return (int) (2 * Math.pow(3, (n - 2) / 3));
        }
    }
}