LeetCode/62. 不同路径

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

来源：力扣（LeetCode）
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

题解：

本题思想基于动态规划思想，到(i,j)点的路径之和等于到点(i,j-1)与点(i-1,j)的路径之和，递归方程如下：

$$dp(i,j)= dp(i-1,j)+dp(i,j-1)$$

其中第一行和第一列，由于只能一直横着走或者一直竖着走，那么到该行该列上点的路径恒为1，具体实现代码如下：

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];//初始化路径数组

        //初始化第一行
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        //初始化第一列
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[0][i] = 1;
        }

        //递归求解dp数组
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        //最后返回右下角的dp值，即为总路径数量
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}