LeetCode/64. 最小路径和

64. 最小路径和

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例 :

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

来源：力扣（LeetCode）
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题解：

本题和62. 不同路径基本上就是一毛一样，所以我们还是采用动态规划的思想，第一行和第一列由于只能一直横着走或者一直竖着走比较特殊，我们首先初始化第一行和第一列。对于普通元素(i,j)，我们可以写出状态转移方程$dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$，最后返回dp数组的最后一个元素即可。

具体实现代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int[][] dp = new int[grid.length][grid[0].length];
        dp[0][0] = grid[0][0];

        //初始化第一行
        for (int i = 1; i < grid.length; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }
        //初始化第一列
        for (int i = 1; i < grid[0].length; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        }

        //动态规划求解dp数组
        for (int i = 1; i < grid.length; i++) {
            for (int j = 1; j < grid[0].length; j++) {
                dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[grid.length - 1][grid[0].length - 1];
    }
}

当然，本题的空间复杂度较高，我们发现dp[i][j]只与dp[i-1][j]和dp[i][j-1]有关，所以我们可以将dp数组从二维压缩到一维。我们必须明确，纵向为i横向为j，如下图所示：

首先将j指向的第一行更新，dp[j]=dp[j-1]+grid[0][j]，然后进行迭代，如果j==0时，dp[0]的更新只与上一次dp[0]的值有关，即dp[j] += grid[i][j]，如果j!=0，dp[j]的值与它左边和上边的值有关，即dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j]。

具体代码如下：

class Solution {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int[] dp = new int[grid[0].length];
        dp[0] = grid[0][0];

        //初始化第一行
        for (int j = 1; j < grid[0].length; j++) {
            dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
        }

        for (int i = 1; i < grid.length; i++) {
            for (int j = 0; j < grid[0].length; j++) {
                if (j == 0) {
                    dp[j] += grid[i][j];
                } else {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - 1]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        return dp[grid[0].length - 1];
    }
}